【電磁気学】マクスウェル方程式のへぇ～となった話

電磁気学の基本的な方程式としてマクスウェル方程式というものがあります。物理で重要な式なので最初に概要だけ紹介します。マクスウェル方程式（微分型）は以下の４つの式からなります。

$\left\{\begin{aligned} \operatorname{div} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x} ,t) & =\rho_e(\boldsymbol{x} , t) \\ \operatorname{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t) & =0 \\ \operatorname{rot} \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x} , t) & =\boldsymbol{i}_e (\boldsymbol{x} , t)+\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x} , t)}{\partial t}\\ \operatorname{rot} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x} , t) & =-\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)}{\partial t} \end{aligned}\right.$

いきなり目がチカチカしそうですが、１つずつ見ていきましょう。

① $\operatorname{div} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x} ,t) =\rho_e(\boldsymbol{x} , t)$
② $\operatorname{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t) =0$
これらはそれぞれ、誘電体中の静電場、静磁場におけるガウスの法則を時間変化する場合に一般化したものです。 ①では電荷が存在しているところで（ $\rho_e \neq 0$ ）、電場が湧き出すイメージです。冬場にセーターでこすった下敷きは帯電しているので電場が発生しています。 ②では、①と形が似ていますが右辺がゼロです。磁石には必ずN極とS極が存在して、N極だけの磁石は存在しないということを意味します。かっこよく言うとモノポールの磁荷が存在しないことを示しています。

③ $\operatorname{rot} \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x} , t) =\boldsymbol{i}_e (\boldsymbol{x} , t)+\frac{\partial \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x} , t)}{\partial t}$ これは、アンペール・マクスウェルの法則というもので、伝導電流と変位電流が磁場を作ることを示しています。電流の周りに磁場ができる右ねじの法則とかやりましたよね。

④ $\operatorname{rot} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x} , t) =-\frac{\partial \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x} , t)}{\partial t}$ これは、ファラデーの誘導法則であり、磁束密度の時間的変化にともない誘導電場が発生することを意味しています。コイル内に磁石の棒を出し入れするとコイル内に電流が流れるあれです。

また、DとE、BとHには以下の関係式があります。
$\boldsymbol{D}(\boldsymbol{x}, t)=\varepsilon \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t)$
$\boldsymbol{B}(x, t)=\mu \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}, t)$

この式からマクスウェル方程式は $\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{H}$ と $\rho_e$ と $\boldsymbol{i_e}$ の４つの関数で構成されることが分かります。既知の値 $\rho_e$ と $\boldsymbol{i_e}$ があれば、電場と磁場がわかってしまうという算段です。

ここで、よくよく考えると、電場と磁場は３次元のベクトルなので未知数は６個、一方、マクスウェル方程式は③と④の式がベクトルの式になっているので合計８個の式の連立となります。これでは、方程式の数が未知数に比べて多すぎてマクスウェル方程式には解がないのではないか！と心配になってしまう人がいると思います。

ところがこの心配は杞憂で以下でその説明をします。

③の式の両辺の発散をとると

$\operatorname{div} \operatorname{rot} \boldsymbol{H}(\boldsymbol{x}, t)-\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x}, t)=\operatorname{div} \boldsymbol{i}_e (\boldsymbol{x}, t)$

ベクトルの性質から第１項はゼロであり、電荷保存則から、

$\operatorname{div} \boldsymbol{i}_e(\boldsymbol{x}, t)=-\frac{\partial \rho_e(\boldsymbol{x}, t)}{\partial t}$

であるので、

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\operatorname{div} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x}, t)-\rho_e(\boldsymbol{x}, t)\right)=0$

となります。これを時間に関して積分すると、

$\operatorname{div} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x}, t)-\rho_e(\boldsymbol{x}, t)=X(\boldsymbol{x})$

右辺は、時間的に変化しない場所の関数です。これってどこかで見たような。そうです、①と同じ形です。つまり、①の式は③の初期条件 $X(\boldsymbol{x})=0$ のように考えることができるのです。

同様に、④の式の両辺の発散をとってみると

$\operatorname{div} \operatorname{rot} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t)+\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}, t)=0$